如图，已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、BD在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2BD，求证：（1）DE=DA；（

题型：不详难度：来源：

如图，已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、BD在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2BD，
求证：（1）DE=DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA．

答案

证明：（1）取AC中点N，连接MN、BN，∵△ABC是正三角形，∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M为AE中点，EC=2BD，∴MN

∥ .

.

BD，∴BN

∥ .

.

DM，
∴四边形MNBD是平行四边形，
由BN⊥AC，BN⊥EC，得BN⊥平面AEC，∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，∴AD=DE．
（2）∵DM⊥平面AEC，DM?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面AEC．