试题分析:(I)由于EF与BD在同一个平面内,显然考虑在ABB1A1这个平面内证明这两条直线平行,这完全就是平面几何的问题了.取AB的中点M,,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以.又分别为的中点,,且,所以四边形为平行四边形,,,由此可得平面. (II)取AB的中点M,则MB、MC、MD两两垂直,所以可以以M为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角E-BC1-D的余弦值. 试题解析:(I)证明:取AB的中点M, ,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以. 在三棱柱中,分别为的中点, ,且, 所以四边形为平行四边形,, ,又平面,平面, 所以平面.
(II)以AB的中点M为原点,分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,, ∴,,. 设面BC1D的一个法向量为,面BC1E的一个法向量为, 则由得取, 又由得取, 则, 故二面角E-BC1-D的余弦值为. 12分 |