如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(Ⅰ) 求证:平面;(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(Ⅰ) 求证:平面;(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
中,侧面
是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.
(Ⅰ) 求证:
平面
;
(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明见解析(2) -
解析
(Ⅰ)由底面
ABCD
为菱形且∠
ADC
=60°,
DC
=2,
DO
=1,有
OA
⊥
DC
.
建立空间直角坐标系如图,则
,
.
由
M
为
PB
中点,∴
.
∴
.
∴
,
.
∴
PA
⊥
DM
,
PA
⊥
DC
. ∴
PA
⊥平面
DMC.
(Ⅱ))
.令平面
BMC
的法向量
,
则
,从而
x
+
z
=0; ……①,
,从而
. ……②
由①、②,取
x
=−1,则
. ∴可取
.
由(II)知平面
CDM
的法向量可取
,
∴
. ∴所求二面角的余弦值为-
.
举一反三
.将锐角A为60°,边长为
的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,则AC与BD的中点O的距离为( )。
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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.已知二面角A-BC-D,A-CD-B,A-BD-C的平面角都相等,则点A在平面BCD上的射影是 △BCD的( )。
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
题型:不详
难度:
|
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如图,有一个三角形的遮阳棚△ABC,AC=3m,BC=4m,AB=5m,
A,B是安置在地面上南北方向的两个定点,由正西方向的太
阳(用点O表示)射出的光线OCE与地面成30°的角,△ABE
为遮阳棚产生的阴影,当遮阳棚与地面构成60°的二面角时,
该遮阳棚所遮阴影△ABE的面积是______________
题型:不详
难度:
|
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一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为
和
,则
+
的取值范围为______________
题型:不详
难度:
|
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在三棱锥
中,底面
是以
为直角的等腰三角形.又
在底面
上的射影
在线段
上且靠近点
,
,
,
和底面
所成的角为
.
(Ⅰ)求点
到底面
的距离;
(Ⅱ)求二面角
的大小的正切值.
题型:不详
难度:
|
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