作NA⊥α于A,MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM,再作AC⊥l于C,BD⊥l于D,连接NC、MD.
∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角,∠MNB,∠NMA分别是MN与β,α所成角,∴∠MPB=∠NPA. 在Rt△MPB与Rt△NPA中,PM=PN,∠MPB=∠NPA,∴△MPB≌△NPA,∴MB=NA. 在Rt△MNB与Rt△NMA中,MB=NA,MN是公共边,∴△MNB≌△NMA,∴∠MNB=∠NMA,即(1)结论成立. (2)解:设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ,NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角, ∴∠MDB=60°,同理∠NCA=60°, ∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ, ∵MB⊥β,MP⊥PN,∴BP⊥PN ∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴
整理得,16sin4θ-16sin2θ+3=0 解得sin2θ=,sinθ=, 当sinθ=时,CN=asinθ=a>PN不合理,舍去. ∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°. |