如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB与平面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=12AD.(
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如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB与平面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=12AD.(
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB与平面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=
1
2
AD.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)设E是棱PD上一点,且PE=
1
3
PD,求异面直线AE与PB所成的角.
答案
如图,建立空间直角坐标系A-xyz.
∵PA⊥平面ABCD,PB与平面ABC成60°,
∴∠PBA=60°,∴PA=ABtan60°=
3
.
取AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,
3
),D(0,2,0).
(1)∵
AC
=(1,1,0),
AP
=(0,0,
3
),
CD
=(-1,1,0),
∴
AC
•
CD
=-1+1+0=0,
AP
•
CD
=0.
∴AC⊥CD,AP⊥CD,
∵AC∩AP=A,
∴CD⊥平面PAC.
又CD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAC.
(2)∵
PE
=
1
3
PD
,
PD
=(0,2,-
3
)
,
∴
OE
=
OP
+
1
3
PD
=(0,0,
3
)+
1
3
(0,2,-
3
)
=
(0,
2
3
,
2
3
3
)
,
∴E(0,
2
3
,
2
3
3
),∴
AE
=(0,
2
3
,
2
3
3
).
又
PB
=(1,0,-
3
),∴
AE
•
PB
=-2.
∴cos<
AE
•
PB
>=
AE
•
PB
|
AE
|•|
PB
|
=
-2
4
3
×2
=-
3
4
.
∴异面直线AE与PB所成的角为arccos
3
4
.
举一反三
若直线m与平面α所成角为
π
3
,直线n⊂α,则直线m,n所成角的取值范围是( )
A.
(0,
π
2
)
B.
[
π
6
,
π
2
]
C.
[
π
3
,
π
2
]
D.
[
π
6
,
π
3
]
题型:不详
难度:
|
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如图,已知正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
(底面是正三角形,侧棱垂直底面)异面直线AC与B
1
C
1
所成的角是______.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是棱AA
1
,BB
1
的中点,求异面直线A
1
F与D
1
E所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
上一点,记
D
1
P
D
1
B
=λ
.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围为( )
A.(0,1)
B.
(
1
3
,1)
C.
(0,
1
3
)
D.(1,3)
题型:不详
难度:
|
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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF
∥
DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为
1
3
,求AB的长.
题型:不详
难度:
|
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