记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点,记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围为( )A.(0,1)B.(1
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记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点,记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围为( )A.(0,1)B.(1
题型:不详
难度:
来源:
记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
上一点,记
D
1
P
D
1
B
=λ
.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围为( )
A.(0,1)
B.
(
1
3
,1)
C.
(0,
1
3
)
D.(1,3)
答案
由题设可知,以
DA
、
DC
、
DD
1
为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1)
由
D
1
B
=(1,1,-1),得
D
1
P
=λ
D
1
B
=(λ,λ,-λ),
所以
PA
=
P
D
1
+
D
1
A
=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),
PC
=
P
D
1
+
D
1
C
=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1)
因为∠APC不是平角,
所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos<
PA
,
PC
>=
PA
•
PC
|
PA
|•|
PC
|
<0,
则等价于
PA
•
PC
<0
即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)
2
=(λ-1)(3λ-1)<0,得
1
3
<λ<1
因此,λ的取值范围是(
1
3
,1).
故选B.
举一反三
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF
∥
DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为
1
3
,求AB的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,O为底面的中心,SO⊥底面ABCD,SO=
2
,则异面直线CD与SA所成角的大小为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,E是BC中点,若PA=AB,则异面直线PE与AB所成角的余弦值( )
A.
3
7
14
B.
21
6
C.
5
10
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AC与B
1
D所成的角为( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
题型:不详
难度:
|
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直线a与平面α所成的角为30°,直线b在平面α内,若直线a与b所成的角为θ,则( )
A.0°<θ≤30°
B.0°<θ≤90°
C.30°≤θ≤90°
D.30°≤θ≤180°
题型:不详
难度:
|
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