如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求BN的长；（2）求

题型：天津难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求

BN

的长；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求证A₁B⊥C₁M．

答案

如图，以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|

BN

|=

(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2

=

3

（2分）
（2）依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2）．
∴

BA1

=(1，-1，2)，

CB1

=(0，1，2)，

BA1

•

CB1

=3，|

BA

1|=

6

，|

CB

1|=

5

（5分）
∴cos＜

BA1

•

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

1

10

30

（9分）
（3）证明：依题意得C₁（0，0，2），M(

1

2

，

1

2

，2)

A1B

=（-1，1，-2），

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)，
∴

A1B

•

C1M

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

（12分）