解法一:(Ⅰ)∵PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴PC⊥AB. ∵CD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CD⊥AB. 又PC∩CD=C,∴AB⊥平面PCB. (Ⅱ)过点A作AF∥BC,且AF=BC,连接PF,CF.则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角. 由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CF⊥AF. 由三垂线定理,得PF⊥AF.则AF=CF=,PF==, 在Rt△PFA中,tan∠PAF===,即∠PAF=. ∴异面直线PA与BC所成的角为. (Ⅲ)取AP的中点E,连接CE、DE. ∵PC=AC=2,∴CE⊥PA,CE=. ∵CD⊥平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DE⊥PA. ∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角. 由(Ⅰ)AB⊥平面PCB,又∵AB=BC,AC=2,∴BC=. 在Rt△PCB中,PB==,CD===. 在Rt△CDE中,sin∠CED===. ∴二面角C-PA-B的大小为arcsin. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)AB⊥平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=. 以B为原点,如图建立坐标系.则A(0,,0),B(0,0,0),C(,0,0),P(,0,2).=(,-,2),=(,0,0). ∴cos<,>===. ∴异面直线AP与BC所成的角为. (Ⅲ)设平面PAB的法向量为=(x,y,z).=(0,-,0),=(,-,2), 则,即,令z=-1,得=(,0,-1). 设平面PAC的法向量为=(x′,y′,z′).=(0,0,-2),=(,-,0), 则,即,令x′=1,得=(1,1,0). ∴cos<,>===, ∴二面角C-PA-B的大小为arccos. |