(理科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.(1)求DP和平面ABCD所成的角的
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(理科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.(1)求DP和平面ABCD所成的角的
题型:武汉模拟
难度:
来源:
(理科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.
(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切;
(2)求DP和AC′所成角.
答案
(1)过P作PH⊥BC于足H,连DH,
∵面BC′⊥面AC,则PH⊥面ABCD,
∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP.
在正方形BCC′B′,M,N分别为BB′,B′C′中点,P为MN中点,
又B′C′=1,则PH=
3
4
,BH=
1
4
,CH=
3
4
,
DH=
D
C
2
+D
H
2
=
1+
(
3
4
)
2
=
5
4
在Rt△PHD中,tan∠HDP=
3
4
5
4
=
3
5
(6分)
(2)建立如图空间直角坐标系
A(0,0,1),C′(1,1,0),则
AC′
=(1,1,-1)
,
D(0,1,1),P(1,
1
4
,
1
4
)
.
则
DP
=(1,-
3
4
,-
3
4
)
设
AC
和
DP
夹角为θ
cosθ=
(1,1,-1)•(1,-
3
4
,-
3
4
)
3
•
1+
9
16
+
9
16
=
4
102
θ=arccos
4
102
=arccos
2
102
51
(12分)
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=
2
,底面ABCD为直角梯形,其中BC
∥
AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
3
2
?若存在,求出
AQ
QD
的值;若不存在,请说明理由.
题型:福建
难度:
|
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如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小.
题型:淄博一模
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB
∥
DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=
2
,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值.
题型:山东
难度:
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如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD
∥
AE,BD⊥BA,
BD=
1
2
AE=2
,O、M分别为CE、AB的中点.
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小.
(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为
π
6
,则
l
r
=______.
题型:上海
难度:
|
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