如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面P
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如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面P
题型:不详
难度:
来源:
如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.
(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)求cos∠COD.
答案
(1)见解析 (2)17-12
解析
(1)证明 设平面PAB与平面PCD的交线为l.
因为AB∥CD,AB不在平面PCD内,所以AB∥平面PCD.
又因为AB⊂平面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l,所以AB∥l.
由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.
(2)设CD的中点为F,连接OF,PF.
由圆的性质,知∠COD=2∠COF,OF⊥CD.
因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD.
又OP∩OF=O,故CD⊥平面OPF.
又CD⊂平面PCD,因此平面OPF⊥平面PCD,从而直线OP在平面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与平面PCD所成的角.由题设,∠OPF=60°.
设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan 60°=
h.
根据题设有∠OCP=22.5°,得
OC=
=
.
由1=tan 45°=
和tan 22.5°>0,
可解得tan 22.5°=
-1,
因此OC=
=(
+1)h.
在Rt△OCF中,cos∠COF=
=
=
-
,
故cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos
2
∠COF-1=2(
-
)
2
-1=17-12
.
举一反三
设
是
所在平面
外一点,若
,则
在平面
内的射影是
的( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
题型:不详
难度:
|
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已知
,
,
为三条不同的直线,
,
为两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.
⊥
,
⊥
,且
,则
⊥
.
B.若平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等,则
.
C.若
,
,则
.
D.若
,
,则
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
依次是
的中点.
(1)求证:
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,
⊥底面
,四边形
是直角梯形,
⊥
,
∥
,
,
.
(1)求证:平面
⊥平面
;
(2)求点C到平面
的距离;
(3)求PC与平面PAD所成的角的正弦值。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱
中,
,
,
,
,点
是
的中点.
(1)求证:
;
(2)求证:
(3)求三棱锥
的体积.
题型:不详
难度:
|
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