在如图所示的几何体中,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直,M为AF的中点,BN⊥CE.(1)求证:CF∥平面MBD;(2)求证:CF⊥平面BDN.
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在如图所示的几何体中,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直,M为AF的中点,BN⊥CE.(1)求证:CF∥平面MBD;(2)求证:CF⊥平面BDN.
题型:不详
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在如图所示的几何体中,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直,M为AF的中点,BN⊥CE.
(1)求证:CF∥平面MBD;
(2)求证:CF⊥平面BDN.
答案
(1)见解析 (2)见解析
解析
证明:(1)连接AC交BD于点O,连接OM.
因为四边形ABCD是正方形,所以O为AC的中点.
因为M为AF的中点,所以CF∥OM,
又OM⊂平面MBD,CF⊄平面MBD,所以CF∥平面MBD.
(2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直,
所以AF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以AF⊥BD.
又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
因为AC∩AF=A,所以BD⊥平面ACF,
因为CF⊂平面ACF,所以CF⊥BD.
因为AB⊥BC,AB⊥BE,BC∩BE=B,所以AB⊥平面BCE.
因为BN⊂平面BCE,所以AB⊥BN,易知EF∥AB,
所以EF⊥BN.
又EC⊥BN,EF∩EC=E,所以BN⊥平面CEF,
因为CF⊂平面CEF,所以BN⊥CF.
因为BD∩BN=B,所以CF⊥平面BDN.
举一反三
如图,在棱长为4的正四面体A-BCD中,M是BC的中点,点P在线段AM上运动(P不与A,M重合),过点P作直线l⊥平面ABC,l与平面BCD交于点Q,给出下列命题:①BC⊥平面AMD;②Q点一定在直线DM上;③V
C
-AMD
=4
.
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
题型:不详
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
题型:不详
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,△PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,且∠DAB=60°,AB=2,E为AD的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求点E到平面PBC的距离.
题型:不详
难度:
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如图,在四棱柱
中,已知平面
平面
且
,
.
(1)求证:
(2)若
为棱
上的一点,且
平面
,求线段
的长度
题型:不详
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如图,在正方体
中,
是
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:平面
平面
;
(3)求直线BE与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
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