已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝，求AB和CD所成角的余弦值．

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已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝

，求AB和CD所成角的余弦值．

答案

解析

解：如图所示，在BD上取点G，
使BG∶GD＝1∶2，
连接EG、FG.
在△BCD中，∵

＝

，∴EG∥CD，
且GE∶CD＝1∶3，则EG＝1，
同理FG∥AB，且FG∶AB＝2∶3，则FG＝2.
∴EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角．
在△EFG中，EG＝1，FG＝2，EF＝

，
由余弦定理得
cos∠EGF＝

＝－

，
∵异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°，
∴cosθ≥0.
∴AB与CD所成角的余弦值为

举一反三

设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

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设m，n是平面α内的两条不同直线；l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)

A．m∥β且l₁∥α	B．m∥l₁且n∥l₂
C．m∥β且n∥β	D．m∥β且n∥l₂

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下列命题正确的是(　　)

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

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在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

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如图中四个正方体图形，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

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