(1)证明 取BC中点O,连接AO,OB1. △ABC为正三角形,∴AO⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面 BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC, ∴AO⊥平面BCC1B1,∴AO⊥BD. ∵正方形BCC1B1中,O,D分别为BC,CC1的中点, ∴OB1⊥BD.又AO∩OB1=O, BD⊥平面AOB1,∴BD⊥AB1.
(2)解 取B1C1中点E,以O为原点,分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,不妨设BC=2. 由题意知A(0,0,),B(1,0,0),D(-1,1,0),B1(1,2,0),则=(1,0,-),=(-2,1,0),=(1,-1,),=(2,1,0), 设n=(x,y,z)是平面ADB1的法向量,
则, 即, 可取n=(-1,2,), 同理,设m是平面ABD的法向量,可取m=(1,2,), ∴cos〈n,m〉==, ∴二面角B—AD—B1的余弦值为. |