如图,四棱锥的底面为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中,,平面底面,是的中点. (1)求证://平面;(2)求证:;(3)求与平面所成角的正弦值。
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如图,四棱锥的底面为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中,,平面底面,是的中点. (1)求证://平面;(2)求证:;(3)求与平面所成角的正弦值。
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
的底面
为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中
,
,平面
底面
,
是
的中点.
(1)求证:
//平面
;
(2)求证:
;
(3)求
与平面
所成角的正弦值。
答案
(1)详见解析(2)详见解析(3)
.
解析
试题分析:(1)证BE∥平面PAD,可先构建平面EBM,证明平面EBM∥平面APD,由面面平行,得到线面平行;
(2)取PD的中点F,连接FE,根据线面垂直的判定及性质,及等腰三角形性质,结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC,又由BE∥AF,可得BE⊥平面PDC;
(3)证明AF⊥平面PCD,连接DE,则∠BDE为BD与平面PDC所成角..
试题解析:(1)证明:如图,
取CD的中点M,连接EM、BM,则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD,BM∥AD;
又∵BM∩EM=M,
∴平面EBM∥平面APD;
而BE⊂平面EBM,
∴BE∥平面PAD;
(2)证明:取PD的中点F,连接FE,则FE∥DC,BE∥AF,
又∵DC⊥AD,DC⊥PA,
∴DC⊥平面PAD,
∴DC⊥AF,DC⊥PD,
∴EF⊥AF,
在Rt△PAD中,∵AD=AP,F为PD的中点,
∴AF⊥PD,又AF⊥EF且PD∩EF=F,
∴AF⊥平面PDC,又BE∥AF,
∴BE⊥平面PDC,
∴CD⊥BE;
(3)解:∵CD⊥AF,AF⊥PD,CD∩PD=D,
∴AF⊥平面PCD,
连接DE,则∠BDE为BD与平面PDC所成角.
在直角△BDE中,设AD=AB=a,则BE=AF=
,BD=
,∴sin∠BDE=
.
举一反三
平面
与平面
平行的条件可以是( )
A.
内有无穷多条直线与
平行
B.直线a//
,a//
C.直线a
,直线b
,且a//
,b//
D.
内的任何直线都与
平行
题型:不详
难度:
|
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已知不同直线
、
和不同平面
、
,给出下列命题:
①
②
③
异面
④
其中错误的命题有( )个
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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空间四边形ABCD中,若
,则
与
所成角为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知正方体
(1)在正方体的所有棱中,哪些棱所在直线与直线
异面
(2)求证:
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
的底面是边长为1的正方形,
,点E在棱PB上.
(1)求证:平面
;
(2)当
且E为PB的中点时,求AE与平面PDB
所成的角的大小.
题型:不详
难度:
|
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