如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,平面PAB,,.M为PB的中点.(1)求证:PD//平面AMC;(2)求锐二面角B-AC-M的余弦值.

如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,平面PAB,,.M为PB的中点.(1)求证:PD//平面AMC;(2)求锐二面角B-AC-M的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,平面PAB,,.M为PB的中点.

(1)求证:PD//平面AMC;
(2)求锐二面角B-AC-M的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2).
解析

试题分析:
(1)连接,设相交于点,连接,要证明线面平行,只需要在面AMC中找到一条直线OM与PD平行即可,该问考虑构造三角形的中位线来证明,来证明线面平行,即OM为三角形PBD是边PD的中位线,线线平行就可以得到线面平行.
(2)求二面角的关键是找到二面角的平面角,根据角BPA为30度且AB为PB的一半利用三角形正弦定理即可证明三角形ABP是以角PAB为直角的直角三角形,即可以得到PA与AB垂直,由BC与面PAB垂直可以得到BC与PA垂直,进而有PA垂直于面ABCD中的两条相交的线段,则有PA垂直与底面ABCD.为作出得到二面角的平面角,作,垂足为,连接,则有MF为三角形PAB的中位线,得到MF也垂直于底面,即PA与AC垂直,又AC与GF垂直,则有角MGF就是所求二面角的平面角,利用中位线求出MF,利用勾股定理求出GF长度,得到二面角的平面角MGF的三角函数值,就得到求出二面角的角度.
试题解析:

(1)证明:连接,设相交于点,连接
∵四边形是平行四边形,∴点的中点.   2分
的中点,∴的中位线,
//.   4分

//.    6分
(2)不妨设.
中,,
,
,且.        8分
平面平面,故
,∴.
的中点,连接,则//,且.   10分
平面,.
,垂足为,连接
,∴
为二面角的平面角.        12分
中,,得.
中,.
∴二面角的余弦值为.      14分
举一反三
设m,n是平面内的两条不同直线,l是平面外的一条直线,则的(     )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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已知正方体中,线段上(不包括端点)各有一点,且,下列说法中,不正确的是(  )
四点共面
B.直线与平面所成的角为定值
C.
D.设二面角的大小为,则的最小值为
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如图,四边形ABCD与四边形都为正方形,,F
为线段的中点,E为线段BC上的动点.

(1)当E为线段BC中点时,求证:平面AEF;
(2)求证:平面AEF平面;
(3)设,写出为何值时MF⊥平面AEF(结论不要求证明).
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设平面,直线,则“”是“”的(   )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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是两个不同的平面,是一条直线,以下命题:
①若,则;②若,则
③若,则;④若,则.
其中正确命题的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个

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