试题分析:本题主要以三棱柱为几何背景考查线线垂直,线面垂直、线面平行、面面平行等数学知识,考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力,考查学生的数形结合思想.第一问,由于AA1⊥面ABC,所以利用线面垂直的性质得垂直面内的线BC,而,利用线面垂直的判定得面,所以BC垂直于面内的线;第二问,法一:先找到F点的位置,再证明,作出辅助线,因为,所以得到,而,即,所以且,所以四边形AFEG为平行四边形,所以,所以利用线面平行的判定得平面;法二:作出辅助线,利用线面平行的判定,可以推断出平面,平面,利用面面平行的判定,得面平面,所以得平面. 试题解析:(1)∵AA1⊥面ABC,BC⊂面ABC, ∴BC⊥AA1.(1分) 又∵BC⊥AC,AA1,AC⊂面AA1C1C,AA1∩AC=A,∴BC⊥面AA1C1C,(3分) 又AC1⊂面AA1C1C,∴BC⊥AC1.(4分)
(2)(法一)当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.(7分) 理由如下:在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G,连结AG. ∵B1E=3EC1,∴, 又AF∥A1C1且, ∴AF∥EG且AF=EG, ∴四边形AFEG为平行四边形,∴EF∥AG,(10分) 又EF⊄面A1ABB1,AG⊂面A1ABB1,∴EF∥平面A1ABB1.(12分) (法二)当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.(9分) 理由如下:在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G,连结FG.
∵EG∥BB1,EG⊄面A1ABB1,BB1⊂面A1ABB1, ∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E=3EC1,∴BG=3GC, ∴FG∥AB,又AB⊂面A1ABB1,FG⊄面A1ABB1, ∴FG∥平面A1ABB1. 又EG⊂面EFG,FG⊂面EFG,EG∩FG=G, ∴平面EFG∥平面A1ABB1.(11分) ∵EF⊂面EFG,∴EF∥平面A1ABB1.(12分) |