P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.(1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的________心;(2)若PA
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P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影. (1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的________心; (2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的________心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的________心. |
答案
(1)内(2)垂(3)外 |
解析
(1)P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,可知O到△ABC三边距离相等,即O是△ABC的内心;(2)由PO⊥平面ABC且BC平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC⊥平面POA,从而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是△ABC的垂心;由PA、PB、PC与底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,从而OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心. |
举一反三
如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA、PB的中点.求证:
(1)MN∥平面PCD; (2)四边形MNCD是直角梯形; (3)DN⊥平面PCB. |
如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=AC,D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点.
(1)证明:EF∥平面ABC; (2)证明:C1E⊥平面BDE. |
已知如图①所示,矩形纸片AA′A1′A1,点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点,将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱),若面对角线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1.
(图①)
(图②) |
在三棱锥SABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=AC=BC,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE=3DE,点M是线段SD上一点, (1)求证:BC⊥AM; (2)若AM⊥平面SBC,求证:EM∥平面ABS. |
在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC的中点,BC=BB1. (1)若P是CC1上任一点,求证:AP不可能与平面BCC1B1垂直; (2)试在棱CC1上找一点M,使MB⊥AB1. |
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