如图,四边形ABCD为正方形,在四边形ADPQ中,PD∥QA.又QA⊥平面ABCD,QA=AB=PD.(1)证明:PQ⊥平面DCQ;(2)CP上是否存在一点R,

如图,四边形ABCD为正方形,在四边形ADPQ中,PD∥QA.又QA⊥平面ABCD,QA=AB=PD.(1)证明:PQ⊥平面DCQ;(2)CP上是否存在一点R,

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如图,四边形ABCD为正方形,在四边形ADPQ中,PD∥QA.又QA⊥平面ABCD,QA=AB=PD.

(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)CP上是否存在一点R,使QR∥平面ABCD,若存在,请求出R的位置,若不存在,请说明理由.
答案
(1)见解析(2)存在CP中点R
解析
(1)证法一:∵QA⊥平面ABCD,∴QA⊥CD,由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD,又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线,∴CD⊥平面PDAQ,∴CD⊥PQ,在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线,∴PQ⊥平面DCQ.

证法二:∵QA⊥平面ABCD,QA平面PDAQ,∴平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,∴DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线,∴PQ⊥平面DCQ.
(2)存在CP中点R,使QR∥平面ABCD.证明如下:
取CD中点T,连结QR、RT、AT,则RT∥DP,且RT=DP,又AQ∥DP,且AQ=DP,从而AQ∥RT,且AQ=RT,∴四边形AQRT为平行四边形,所以AT∥QR,∵QR平面ABCD,AT平面ABCD,∴QR∥平面ABCD.
举一反三
直线l上有两点与平面α的距离相等,则直线l与平面α的位置关系是________.
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下列命题中正确的是________.(填序号)
①若直线a不在α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
④平行于同一平面的两直线可以相交.
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已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.
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如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分别为AA1、CC1的中点,AC⊥BE,点F在线段AB上,且AB=4AF.若M为线段BE上一点,试确定M在线段BE上的位置,使得C1D∥平面B1FM.

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若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题是真命题的是________.(填序号)
①若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线;
②若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线;
③已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β;
④若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行.
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