如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<),连接MN.(1)证明对
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如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<),连接MN.(1)证明对
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如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点M在AD
1
上移动,点N在BD上移动,D
1
M=DN=a(0<a<
),连接MN.
(1)证明对任意a∈(0,
),总有MN∥平面DCC
1
D
1
.
(2)当a为何值时,MN的长最小?
答案
(1)见解析 (2) 当a=
时,MN的长有最小值
解析
(1)作MP∥AD,交DD
1
于P,作NQ∥BC,交DC于Q,连接PQ.
由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,
则四边形MNQP为平行四边形.
∴MN∥PQ.
又PQ⊂平面DCC
1
D
1
,MN⊄平面DCC
1
D
1
,
∴MN∥平面DCC
1
D
1
.
(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,
∴MN=PQ,
由已知D
1
M=DN=a,DD
1
=AD=DC=1,
∴AD
1
=BD=
,
∴D
1
P∶1=a∶
,DQ∶1=a∶
,
即D
1
P=DQ=
.
∴MN=PQ=
=
=
(0<a<
),
故当a=
时,MN的长有最小值
.
即当M,N分别移动到AD
1
,BD的中点时,MN的长最小,此时MN的长为
.
举一反三
设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;
②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.
A.1
B.2
C.3
D.4
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对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
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设α,β表示两个不同平面,l,m表示两条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,l⊂α,m⊂β,则α⊥β
B.若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m
C.若l∥m,l⊂α,m⊥β,则α∥β
D.若l⊥α,m⊥β,α∥β,则l∥m
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已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
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已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( )
A.n⊥β
B.n∥β
C.n⊥α
D.n∥α或n⊂α
题型:不详
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