试题分析:(1)证法一:FA⊥平面ABC,平面ABC, 2分 又CA=CB且O为AB的中点, 平面ABDF, 4分 平面ABDF, 5分 证法二:如图,以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 2分 即 5分 (2)解法一:解:设平面ABC的法向量为 6分
设平面DEF的法向量为 由得, 解得, 8分 所以, 10分 故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分 解法二:设平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为,依题中的条件可求得DE=由空间射影定理得故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分 解法三:延长ED、FD交直线CB、AB于M、N两点,过B点作MN的垂线交MN于Q点,连结DQ, 平面BMN,所以为二面角的平面角, ,故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分 (3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC, 14分 所以多面体ABC—FDE的体积为解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其底面为ABC,高为4, 所以多面体ABC—FDE的体积所以多面体ABC—FDE的体积为 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。 |