试题分析:⑴证明:在图甲中,易知 ,从而在图乙中有 , 因为 平面 , 平面 ,所以 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022045243-75299.png) ⑵解法1、 如图,在图乙中作 ,垂足为 ,连接 , 由于 平面 ,则 , 所以 平面 ,则 , 所以 平面 与平面 所成二面角的平面角, 图甲中有 ,又 ,则 三点共线, 设 的中点为 ,则 ,易证 ,所以, , ; 又由 ,得 , 于是, , 在 中, ,即所求二面角的余弦值为 .
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022045249-48519.png) 解法2、 如图,在图乙中作 ,垂足为 ,连接 ,由于 平面 ,则 , 所以 平面 ,则 ,图甲中有 ,又 ,则 三点共线, 设 的中点为 ,则 ,易证 ,所以 ,则 ; 又由 ,得 , 于是, , 在 中, 作 交 于点 ,则 ,以点 为原点,分别以 所在直线为 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 、 、 、 ,则 显然, 是平面 的一个法向量, 设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,不防取 ,则 , 设平面 与平面 所成二面角为 ,可以看出, 为锐角,所以, ,所以, 平面 与平面 , 所成二面角的余弦值为 . 点评:本题考查线面平行,考查线面角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. |