如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.(Ⅰ)求证AM//平面BDE;(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小;
题型:不详难度:来源:
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
(Ⅰ)求证AM//平面BDE; (Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小; (Ⅲ)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°. |
答案
(1)对于线面平行的证明,主要是分析借助于中位线来得到AM∥OE (2)60º(3)P是AC的中点 |
解析
试题分析:解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点, ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形, ∴AM∥OE.∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDE.……4分 (2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,∵AB⊥AF, AB⊥AD, ∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影, 由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角. 在RtΔASB中, ∴∴二面角A—DF—B的大小为60º.……8分 (3)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,∴PQ⊥QF.在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ. ∵ΔPAQ为等腰直角三角形,∴又∵ΔPAF为直角三 角形,∴,∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点.……12分 解法二: (1)建立空间直角坐标系. 设,连接NE, 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1), ∴, 又点A、M的坐标分别是,( ∴ =(∴且NE与AM不共线,∴NE∥AM.又∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDE. (2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF. ∴为平面DAF的法向量. ∵=(·=0, ∴=(·=0得 ,,∴NE为平面BDF的法向量. ∴cos<=∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º. (3)设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=(0,, 0) 又∵PF和BC所成的角是60º.∴ 解得或(舍去),即点P是AC的中点. 点评:解决的关键是根据线面平行的判定定理,以及空间的法向量来求解二面角的平面角的大小,属于中档题。 |
举一反三
如图,四边形与均为菱形,,且.
(1)求证:; (2)求证:; (3)求二面角的余弦值. |
如图1,在直角梯形中,,,且. 现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2. (1)求证:∥平面; (2)求证:平面; (3)求点到平面的距离. 图 图 |
如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.
(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标; (2)问当实数a在什么范围时,BC边上能存在点Q,使得PQ⊥QD? (3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时,求二面角Q-PD-A的大小. |
直棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2. (1)求证:平面ACB1⊥平面BB1C1C; (2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面ACB1平行?证明你的结论. |
如图,四棱锥的底面为一直角梯形,其中,底面,是的中点.
(Ⅰ)求证://平面; (Ⅱ)若平面,求平面与平面夹角的余弦值. |
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