试题分析:(Ⅰ)解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形, 侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2."
∴----------------------------2分 (Ⅱ) 不论点E在PC上何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------3分 证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------5分 又∵∴BD⊥平面PAC ∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC ∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分 (Ⅲ) 解法一:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG ∵CD="CB,EC=EC," ∴≌ ∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA ∴BG⊥EA ∴为二面角D-EA-B的平面角--------------------------10分 ∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE 在Rt△ADE中==BG 在△DGB中,由余弦定理得 ∴=-----------------------12分
[解法二:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 则,从 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为 由可得:, 同理得:。令,则, ∴------10分 设二面角D-AE-B的平面角为,则 ∴------12分 点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。 |