试题分析: (Ⅰ)证明: 点 在平面 上的射影 是 的中点,
PD⊥平面ABC,PD 平面PAC
平面PAC⊥平面ABC ……2分
BC=2AC=8,AB=4![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052025-49757.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052024-68370.png) ,故AC⊥BC ……4分 又平面PAC 平面ABC=AC,BC 平面ABC BC⊥平面PAC,又BC 平面PBC
平面PBC⊥平面PAC ……6分 (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052025-44654.png) 则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,8,0),P(2,0, ),
……8分 设平面PAB的法向量为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052026-63543.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052026-74444.png) 令![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052026-24575.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052024-68370.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052027-86461.png) 设平面PBC的法向量为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052027-92718.png)
,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052027-63949.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052027-32916.png) 令 =0, =1, =- , ……10分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022052029-32172.png)
二面角 的平面角的余弦值为 ……12分 点评:立体几何问题,主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解决此类问题时,要紧扣相应的判定定理和性质定理,要将定理中要求的条件一一列举出来,缺一不可,用空间向量解决立体几何问题时,要仔细运算,适当转化. |