（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.

答案

（1）根据三棱柱中BB₁⊥平面ABC，结合AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B₁D，得到证明。
（2）要证明线面平行，关键是对于DE∥A₁C.的证明。
（3）

解析

试题分析：（Ⅰ）证明：∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BD是B₁D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B₁D
（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.∵AA₁=AB ∴四边形A₁ABB₁是正方形，∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A₁C. ………………………… 7分∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………9分 
（Ⅲ）  ……13分
点评：解决该试题的关键是能利用线面平行的判定定理，以及面面垂直的性质定理来证明线线垂直，同时结合体积公式计算，属于基础题。