(本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．(Ⅰ) 求证：平面；(Ⅱ) 求证：；(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

(本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

答案

解析

试题分析：
解：(Ⅰ)证明：∵，∴； 又∵，是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面.      4分
(Ⅱ) 解法1：证明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 过作交于，则平面.∵平面，∴.
∵，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形，∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴.         8分
解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴两两垂直. 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，；∴，，
∴，∴.   8分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为，
∵，
∴，∴，即，令,得.
设二面角的大小为，由法向量与的方向可知，，
∴，即二面角的余弦值为.   12分
点评：