(本小题共12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的
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(本小题共12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的
题型:不详
难度:
来源:
(本小题共12分)
如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,底面
ABCD
为直角梯形,
AD
//
BC
,∠
ADC
=90°,平面
PAD
⊥底面
ABCD
,
Q
为
AD
的中点,
M
是棱
PC
上的点,
PA
=
PD
=2,
BC
=
AD
=1,
CD
=
.
(1)求证:平面
PQB
⊥平面
PAD
;
(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
答案
(1)∵
AD
//
BC
,
BC
=
AD
,
Q
为
AD
的中点,∴四边形
BCDQ
为平行四边形,∴
CD
//
BQ
.∵∠
ADC
=90°∴∠
AQB
=90°即
QB
⊥
AD
.又∵平面
PAD
⊥平面
ABCD
且平面
PAD
∩平面
ABCD=AD
,∴
BQ
⊥平面
PAD
.∵
BQ
平面
PQB
,∴平面
PQB
⊥平面
PAD
.
(2)
.
解析
试题分析:(1)∵
AD
//
BC
,
BC
=
AD
,
Q
为
AD
的中点,∴四边形
BCDQ
为平行四边形,∴
CD
//
BQ
.∵∠
ADC
=90°∴∠
AQB
=90°即
QB
⊥
AD
.
又∵平面
PAD
⊥平面
ABCD
且平面
PAD
∩平面
ABCD=AD
,
∴
BQ
⊥平面
PAD
.
∵
BQ
平面
PQB
,∴平面
PQB
⊥平面
PAD
.
(2)∵
PA
=
PD
,
Q
为
AD
的中点, ∴
PQ
⊥
AD
.
∵平面
PAD
⊥平面
ABCD
,且平面
PAD
∩平面
ABCD=AD
,
∴
PQ
⊥平面
ABCD
.
如图,以
Q
为原点建立空间直角坐标系.
则平面
BQC
的法向量为
;
,
,
,
.
设
,则
,
,
∵
,
∴
, ∴
在平面
MBQ
中,
,
,
∴ 平面
MBQ
法向量为
.
∵二面角
M-BQ-C
为30,
∴
.
点评:高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算,这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.
举一反三
如图,已知球
的面上有四点
,
平面
,
,
,则球
的体积与表面积的比为
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,在多面体
中,平面
∥平面
,
⊥平面
,
,
,
∥
.
且
,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:
∥平面
;
(Ⅲ)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知直二面角α− ι−β,点A∈α,AC⊥ι,C为垂足,B∈β,BD⊥ι,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于________.
题型:不详
难度:
|
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以下五个命题中,正确命题的个数是________.
① 不共面的四点中,其中任意三点不共线;
② 若
∥
;
③ 对于四面体
ABCD,
任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
④ 对于四面体
ABCD,
相对棱
AB
与
CD
所在的直线是异面直线;
⑤ 各个面都是三角形的几何体是三棱锥。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本题满分为12分)
在四棱锥
中,
底面
,
,
,
,
,
是
的中点.
(I)证明:
;
(II)证明:
平面
;
(III)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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