试题分析:方法一:不妨设,则. (Ⅰ)证明:当为中点时,, 从而为等腰直角三角形,∴, 同理可得,∴, 于是, 又平面平面, 平面平面, 平面, ∴ ,又,∴.………………6分 (Ⅱ)若线段上存在点,使二面角为。 过点作于,连接,由⑴ 所以
为二面角的平面角, …………………………..8分 设, 则中,在中由,得,则,在中 ,所以,所以线段上存在点,当时,二面角为。 .12分 方法二:∵平面平面,平面平面,平面, 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图.
(Ⅰ)不妨设,AB=1 则, 从而,…………………………4分 于是, 所以所以 ………………………………6分 (Ⅱ)设,则, .……………………………………8分 易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量, 则 即,解得,令则,, 从而,……………………………………………10分 依题意,即, 解得(舍去), 所以点在线段BC上距B点处..………………………………………12分 点评:解决该试题的关键是能熟练的运用已学的线面垂直的判定定理和性质定理来证明线线垂直,同时用平面的法向量来求解二面角的大小。属于中档题。 |