如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?若存在,请确定
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如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?若存在,请确定
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
答案
(1)只需证PA⊥BC,AC⊥BC即可;(2)
;(3)故存在点E使得二面角
是直二面角,此时
。
解析
试题分析:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC. 4分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
与平面
所成的角的大小
. 9分
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
,
故存在点E使得二面角
是直二面角.
此时
14分
点评:本题主要考查了直线与平面所成的角以及二面角,属立体几何中的常考题型,较难.充分考查了学生的逻辑推理能力,空间想象力,以及识图能力。
举一反三
已知
垂直平行四边形
所在平面,若
,则平行四边形
一定是
(填形状)
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥
中,
,
,
为
中点,
为
中点,且
为正三角形.
(1)求证:
平面
.
(2)求证:平面
⊥平面
.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的长轴为
,短轴为
,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得
点在平面
上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为( ).
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体
中,
、
分别是
、
的中点,则异面直线
与
所成角的大小是__________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,
是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)线段
上是否存在点
,使得
平面
?若存在,试确定点
的位置;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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