已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点.(Ⅰ)证明://平面;(Ⅱ)证明:平面平面;(Ⅲ)求二面角的正弦值.

已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点.(Ⅰ)证明://平面;(Ⅱ)证明:平面平面;(Ⅲ)求二面角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且中点.
(Ⅰ)证明://平面
(Ⅱ)证明:平面平面
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
解析

试题分析:(Ⅰ)

证明:连结BD交AC于点O,连结EO.                                     ……1分
O为BD中点,E为PD中点,
∴EO//PB.                                                             ……2分
EO平面AEC,PB平面AEC,                                         ……3分
∴ PB//平面AEC.                       
(Ⅱ)

证明:
PA⊥平面ABCD.平面ABCD,
.                                                          ……4分
在正方形ABCD中,                        ……5分
∴CD平面PAD.                                                       ……6分
平面PCD,
∴平面平面.                                              ……7分
(Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空
间直角坐标系.
                                         ……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .                                 ……9分
PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2).
设平面AEC的法向量为, ,
 即 

∴令,则.                                           ……11分
,                            ……12分
二面角的正弦值为.                                     ……13分
点评:证明线面平行和面面垂直时,要紧扣定理要求的条件,缺一不可,用向量求二面角时,要注意所求的二面角时锐角还是钝角.
举一反三
若直线不平行于平面,则下列结论成立的是(   )
A.平面内的所有直线都与直线异面B.平面内不存在与直线平行的直线
C.平面内的直线都与直线相交D.平面内必存在直线与直线垂直

题型:不详难度:| 查看答案
已知直线与平面,给出下列三个命题:
①若      ②若
③若     ④ 
其中真命题的是(   )
A.②③B.②③④C.②③④D.①④

题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,已知正四棱锥侧棱长为,底面边长为的中点,则异面直线所成角的大小为(   )
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于则函数的图象大致是(   )
题型:不详难度:| 查看答案
,则点与直线的位置关系用符号表示为            
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.