试题分析: 作PO⊥面ABCD于O,作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F ∵正方体ABCD-A1B1C1D1 ∴点O在线段AC上,且AO:OC=1:3 ∴α=∠PEO,β=∠PFO EO=,FO=,PO=1,PE=,PF= 2分 cosα=,sinα=,cosβ=, sinβ= cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ==- 4分 (2)(8分) 设A1P=kA1C1,k∈[0,1] 5分 由第(1)题可知α=∠PEO,β=∠PFO EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF= cosα=,sinα=,cosβ=, sinβ= 7分 当k=0或1时,即点P与A1或C1重合时,其中一个角为,另一个角为, 此时α+β=,tan(α+β)= -1 8分 ∴当k≠0,且k≠1时,tanα=,tanβ= ∴tan(α+β) = 11分 ∵k∈(0,1) ∴ ∴tan(α+β)∈ ∵ ∴ ∴tan(α+β)=时,α+β有最小值,此时k=时,即点P为A1C1的中点。 14分 点评:本题有一定难度,多章节知识的综合 |