试题分析:(1)(6分) ∵PA⊥面ABCD,CD面ABCD ∴PA⊥CD 2分 ∵,,且 AB=BC=2 ∴∠ABC=90°,AC=2,∠CAD=45° ∵AD=4 ∴CD=2 ∵CD2+AC2=AD2 ∴AC⊥CD 4分 ∵AC∩PA=A ∴CD⊥面PAC 6分 (2)(6分)解: 方法一:以A为原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2) 2分 ∵E是PC中点 ∴E(1,1,1) 4分 ∵ ∴BE⊥AC ∴BE与AC所成的角为90° 6分 方法二:作AC中点O,连结EO ∵E、O分别是PC、AC中点 ∴EO//PA ∵PA⊥面ABCD ∴EO⊥面ABCD ∴EO⊥AC 可证得ABCG是正方形 ∴AC⊥BO ∵BO∩EO=O ∴AC⊥面BEO ∴AC⊥BE ∴BE与AC所成的角为90° 方法三:作PD中点F,AD中点G ∵AD2BC,AG=GD ∴四边形ABCG是正方形,且BG//CD ∴BO ∵EF是△PCD的中位线 ∴EF ∴EFBO ∴BEFO ∴BE与AC所成的角等于OF与AC所成的角 PB=2,BC=2,PC= ∴PB⊥BC ∵E是PC中点 ∴BE= PD= ∴AF= ∵AO=,OF=BE=,AF= ∴∠AOF=90° 即BE与AC所成的角为90° 点评:立体几何的求解有两大思路。其一:几何法,依据线面的位置关系,长度关系推理计算:其二,代数法,利用空间坐标系,点的坐标转化为向量运算 |