(1)因为AB=AD,O为BD的中点,所以下面再根据勾股定理证即可. (II)先找出异面直线所成的角是解本小题的关键.取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知,∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.然后再把角放在三角形OEM中求解即可. (III)本小题求点到平面的距离可以利用体积法求解.设点E到平面ACD的距离为 然后根据求解.
⑴证明:连结OC … 1分 ,. ……… 2分 在中,由已知可得 … 3分 而, … 4分 即 ……… 5分 ∴平面. ……… 6分 方法一:⑵解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知, ∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角,…… 8分 在中, 是直角斜边AC上的中线,∴ ……………9分 ∴ ………… 10分 ∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. ………………………… 11分 ⑶.解:设点E到平面ACD的距离为., …12分 在中,,,而,. ∴, ∴点E到平面ACD的距离为…14分 方法二:(2)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
, …… 9分 ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为.…… 10分 (3)解:设平面ACD的法向量为则 ,∴, 令得是平面ACD的一个法向量.又 ∴点E到平面ACD的距离 .…14分 |