解法一:取的中点,连结,由几何体为正四面体得,,所以平面,从而. 连结交于点,连结得平面, ,所以平面,从而.又 所以平面,从而. 解法二: 因为几何体为正四棱锥,几何体为正四面体.
故可设 取的中点,连结,由题意知 故是二面角的平面角, 是二面角的平面角, 在中,, 所以, 在中,, 所以 从而,从而四点共面, 故四边形为菱形,从而 (2)由解法二知四边形为菱形,于是,∥, 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 设点到平面的距离为,由得: 进而得,所以与平面所成角的正弦值 解法三:如图,以OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系。 不妨设|OB|=1,则B(1,0,0),C(0,1,0), D(-1,0,0),A(0,-1,0)
因为为正四面体,所以为正三角形,所以,所以,因此P(0,0,1)。 设的重心为M,则面PCB,又也为正三棱锥,因此面PCB,因此O、M、Q三点共线,所以OQ垂直面PCB,即是平面PCB的一个法向量, 由,易得平面PCB的一个法向量可以取,所以不妨设Q(a,a,a),则,因为解得a=1,所以Q(1,1,1)。 (1),,,所以; (2)设面PAD的一个法向量为,,,由 解得一个法向量, 所以,所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。 |