本小题满分12分) (I)
证明:如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D, 则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B, 得AD⊥平面A1BC, ………………(2分) 又BC平面A1BC,∴AD⊥BC. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BC. ………………(4分) 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC;…………(6分) (II)
方法1:连接CD,则由(I)知是直线AC与平面A1BC所成的角, ………………(8分) 是二面角A1—BC—A的平面角,即, ………………(10分) 在Rt△ADC中,,在Rt△ADB中,, 由ACAB,得又所以 ………………(12分) 方法2:设AA1=a,AB=b,BC=c,由(I)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在 的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(0,b,0),C(c,0,0),,b,a), ∴(c,0,0),( 0,b,a),…………(7分) ( c,-b,0),设平面A1BC的一个, 由,得,取, ……………(9分) ∴, ∵平面ABC的法向量为( 0,0,a),∵二面角A1—BC—A的平面角是锐角, ∴, ……………(10分) ∵,∴,, ∵,∴. ………………(12分) |