设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.(

题型：不详难度：来源：

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点在抛物线y=2x²上,l是AB的垂直平分线.
(1)当且仅当x₁+x₂取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.

答案

l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).

解析

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线准线的距离相等y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)
(x₁-x₂)=0,由A、B为两点,∴x₁≠x₂x₁+x₂=0.
故x₁+x₂=0时,直线l经过焦点F.
(2)设l:y=2x+b,
∵l⊥AB,
设AB：y=-x+m,联立y=2x²,
∴2x²+x-m=0,

设AB中点N(x₀,y₀),
则
由点N∈l,∴+m=-+b,
b=+m>-=.
∴l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).