本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决问题的能力.
解法一: (Ⅰ)连结AB1与BA1交于点O,连结OD, ∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O, ∴OD∥PB1,又ODÌ面BDA1,PB1Ë面BDA1, ∴PB1∥平面BDA1. (Ⅱ)过A作AE⊥DA1于点E,连结BE.∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A, ∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1. ∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角. 在Rt△A1C1D中,, 又,∴. 在Rt△BAE中,,∴. 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为. 解法二: 如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-B1C1A,则,,,,. (Ⅰ)在△PAA1中有,即. ∴,,. 设平面BA1D的一个法向量为, 则令,则. ∵, ∴PB1∥平面BA1D, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA1D的一个法向量. 又为平面AA1D的一个法向量.∴. 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为. |