解法一: (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形. ∴A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0),D(0,,0),P(0,0,2), 又E,F分别是AD,PC的中点, ∴E(0,,0),F(1,,1). ∴=(2,,-2)=(-1,,1)=(1,0,1), ∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0, ∴⊥,⊥, ∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F, ∴PC⊥平面BEF, (II)由(I)知平面BEF的法向量, 平面BAP 的法向量, ∴. 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ , 则, ∴ θ=45°, ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°. 解法二 (I)连接PE,EC在和中. PA="AB=CD," AE=DE, ∴ PE=" CE," 即 △PEC 是等腰三角形, 又F是PC 的中点,∴EF⊥PC, 又,F是PC 的中点, ∴ BF⊥PC. 又,∴. (II)∵∴, 又ABCD是矩形,∴ABBC ∴BC平面BAP,BCPB, 又由(Ⅰ)知PC平面BEF, ∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角, 在中,∴ 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°. |