(1)证明:令BD与AC相交于点O, ∵在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中, AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD, PA=4,AD=2,AB=2,BC=6. ∴AC==4,BD==4 ∵AD∥BC,∴△AOD~△BOC, ∵==,∴BO=×4=3,AO=×4=, ∴BO2+AO2=(3)2+()2=12=AB2 ∴由勾股定理得:BO⊥AC,即:BD⊥AC,又BD⊥PA,AC∩PA=A, ∴BD⊥平面PAC.(3分) (2)由(1)知:DO⊥平面PAC, 过O作OH⊥PC于H,连DH,则DH⊥PC 则∠DHO就是二面角A-PC-D的平面角,DO=×BD=×4=1, CO=×AC=×4=3, 在Rt△PAC和Rt△OHC中, ∵∠PAC=∠OHC,∠PCA=∠HCO,∴Rt△PAC~Rt△OHC, ∴=,又∵PC==8,OH=. ∴tan∠DHO==, ∴二面角A-PC-D的正切值为.(7分) (3)设点D到平面PBC的距离为h, ∵VD-PBC=VP-BDC, ∴S△PBC•h=S△BDC•PA=•[(2+6)•2-×2×2]•4=8, ∵BC=6,PB==2,PC==8, ∴BC⊥PB,∴S△PBC=×6×2=6, ∴h==. ∴点D到平面PBC的距离为. |