(本小题满分14分) (Ⅰ)由题意以A为坐标原点,AD,AB,AP为x,y,z正半轴, 建立空间直角坐标系, 则有:A(0,0,0)、D(,0,0)、B(0,2,0)、 C(,1,0)、P(0,0,4)、M(,0,2)、N(0,1,2). 设Q(0,0,a),由于Q∈平面MCN, ∴存在实数λ,μ,使得=λ+μ, 即(-,-1,a)=λ(-,-1,2)+μ(-,0,2). 由,得:. 于是a=2λ+2μ=3,||=1. ∴PQ的长度是1.…(5分) (Ⅱ)设平面MCN的法向量=(x,y,1), 由 | •=(x,y,1)•(-,-1,2)=-x-y+2=0 | •=(x,y,1)•(-,0,2)=-x+2=0 |
| | , 取x=,得=(,1,1). 由题意=(0,0,1)为平面ABCD的法向量. 于是,cos<,>==. ∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值为.…(10分) (Ⅲ)设点A到平面MCN的距离为d, ∵=(0,1,2),平面MCN的法向量=(,1,1), ∴d==. ∴点A到平面MCN的距离为.…(14分) |