如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥DC;(2)求点M到平面
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如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥DC;(2)求点M到平面
题型:不详
难度:
来源:
如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥DC;
(2)求点M到平面PAC的距离.
答案
(本小题满分13分)
如图建系,则D(0,0,0),
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),则
M(2,1,0),N(0,1,
3
2
)
.
(1)∴
MN
=(-2,0,
3
2
),
DC
=(0,2,0)
∴
MN
•
DC
=(-2,0,
3
2
)•(0,2,0)=0
,∴MN⊥DC.
(2)设
n
=(x,y,z)
为平面PAC的一个法向量,
PA
=(2,0,-3),
PC
=(0,2,-3)
,
由
PA
•
n
=0
PC
•
n
=0
,得
2x-3y=0
2y-3z=0
取x=3,则y=3,z=2,
n
=(3,3,2)
,
MA
=(-1,0,0)
∴
d=
|
n
•
MA
|
|
n
|
=
3
22
=
3
22
22
,
∴点M到平面PAC的距离为
3
22
22
.
举一反三
如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a,E为DD
1
的中点.
(1)求证:BD
1
∥
平面EAC;
(2)求点D
1
到平面EAC的距离.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
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A.3
B.4
C.
3
2
D.
17
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,AB=2,AD=2,
A
A
1
=
6
,则点D到平面ACD
1
的距离是( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
6
2
D.2
题型:不详
难度:
|
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