如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明

如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明

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如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,ABDC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(1)证明:B1C1⊥CE;
(2)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为


2
6
.求线段AM的长.
答案
(1)证明:因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1
所以CC1⊥B1C1
因为AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点,
所以B1E=


5
,B1C1=


2
,EC1=


3

从而B1E2=B1C
21
+EC
21

所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E.
又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1
所以B1C1⊥平面CC1E,
又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.
(2)连结D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1
连结AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.
设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=


2
6
x,AH=


34
6
x.
在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=


2
,得EH=


2
MH=
1
3
x.
在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE•EHcos135°,得
17
18
x2=1+
1
9
x2+


2
3
x.
整理得5x2-2


2
x-6=0,解得x=


2
(负值舍去),
所以线段AM的长为


2

举一反三
如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥DC;
(2)求点M到平面PAC的距离.
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E为DD1的中点.
(1)求证:BD1平面EAC;
(2)求点D1到平面EAC的距离.
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在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,求点P到BC的距离.
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从点M(0,2,1)出发的光线,经过平面xoy反射到达点N(2,0,2),则光线所行走的路程为(  )
A.3B.4C.3


2
D.


17
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一个四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧面展开图如图所示.SC为四棱锥中最长的侧棱,点E为AB的中点
(1)画出四棱锥S-ABCD的示意图,求二面角E-SC-D的大小;
(2)求点D到平面SEC的距离.
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