已知正三棱锥P-ABC的体积为723,侧面与底面所成的二面角的大小为60°.(1)证明:PA⊥BC;(2)求底面中心O到侧面的距离.
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已知正三棱锥P-ABC的体积为723,侧面与底面所成的二面角的大小为60°.(1)证明:PA⊥BC;(2)求底面中心O到侧面的距离.
题型:上海
难度:
来源:
已知正三棱锥P-ABC的体积为
72
3
,侧面与底面所成的二面角的大小为60°.
(1)证明:PA⊥BC;
(2)求底面中心O到侧面的距离.
答案
(1)证明:取BC边的中点D,连接AD、PD,
则AD⊥BC,PD⊥BC,故BC⊥平面APD.∴PA⊥BC.
(2)如图,由(1)可知平面PBC⊥平面APD,
则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点O作OE⊥PD,E为垂足,则OE就是点O到侧面的距离.
设OE为h,由题意可知点O在AD上,
∴∠PDO=60°,OP=2h.
∵
OD=
2h
3
,∴BC=4h
,
∴
S
△ABC
=
3
4
(4h
)
2
=4
3
h
2
,
∵
72
3
=
1
3
•4
3
h
2
•2h=
8
3
3
h
3
,∴h=3.
即底面中心O到侧面的距离为3.
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90,AB=4,CD=1,点M在线段PB上,PB与平面ABC成30°角.
(1)找出一点M的具体位置,使CM
∥
平面PAD(要说明理由).
(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.
(3)若点M到平面PAD的距离是
2
,问点M位于线段PB上哪一位置?
题型:不详
难度:
|
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如图,在正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知AB=2,AA
1
=5,
E、F分别为D
1
D、B
1
B上的点,且DE=B
1
F=1.
(Ⅰ)求证:BE⊥平面ACF;
(Ⅱ)求点E到平面ACF的距离.
题型:广州一模
难度:
|
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若A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为______.
题型:沈阳一模
难度:
|
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如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,所有棱长均为1,则点B
1
到平面ABC
1
的距离为 ______.
题型:山东
难度:
|
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如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2m,在圆环上设置三个等分点A
1
,A
2
,A
3
.点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A
1
,A
2
,A
3
,B均用细绳相连接,且细绳CA
1
,CA
2
,CA
3
的长度相等,求细绳总长y的最小值,并求出此时BC的长度.
题型:不详
难度:
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