如图,已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,BC=2,AC=23,AB=22,AA1=A1C=6.(Ⅰ)设AC

如图,已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,BC=2,AC=23,AB=22,AA1=A1C=6.(Ⅰ)设AC

题型:不详难度:来源:
如图,已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,BC=2,AC=2


3
,AB=2


2
AA1=A1C=


6

(Ⅰ)设AC的中点为D,证明A1D⊥底面ABC;
(Ⅱ)求异面直线A1C与AB成角的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:∵AC=2


3
,AA1=A1C=


6
,∴AC2=AA12+A1C2
∴△AA1C是等腰直角三角形,
又D是斜边AC的中点,∴A1D⊥AC,
∵平面A1ACC1⊥平面ABC,∴A1D⊥底面ABC;
(Ⅱ)∵BC=2,AC=2


3
,AB=2


2
,AC2=AB2+BC2
∴三角形ABC是直角三角形,过B作AC的垂线BE,垂足为E,
则BE=
AB•BC
AC
=
2•2


2
2


3
=
2


6
3
,EC=


BC2-BE2
=


4-
8
3
=
2


3
3

∴DE=CD-EC=


3
-
2


3
3
=


3
3

以D为原点,A1D所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,平行于BE的直线为x轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(0,-


3
,0),A1(0,0,


3
),B(
2


6
3


3
3
,0),C(0,


3
,0),


A1C
=(0,


3
,-


3
),


AB
=(
2


6
3
4


3
3
,0),
所以cos<


A1C


AB
>=


A1C


AB
|


A1C
||


AB
|
=


6
3

故所求余弦值为


6
3
举一反三
如图,已知正三角形PAD,正方形ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)求证:AE⊥平面PCD;
(3)求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦..
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已知平面αβ,A,C∈α,B,D∈β,AB⊥CD,且AB=2,直线AB与平面α所成的角为60°,则线段CD长的取值范围为(  )
A.[2,+∞)B.[2C.[2


3
,+∞)
D.[2


3
,4]
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设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成450角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于
8
,则球O的半径等于______.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D中,异面直线A1D与D1C所成的角为______度;直线A1D与平面AB1C1D所成的角为______度.
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已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,侧棱与底面垂直,底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,侧棱与底面边长均为2,则面AB1C与底面A1B1C1D1,ABCD所成角的正弦值为(  )
A.
1
2
B.2C.


5
5
D.
2


5
5
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