已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AB与平面ADC所成角的正弦值为______.

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AB与平面ADC所成角的正弦值为______.

题型:不详难度:来源:
已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AB与平面ADC所成角的正弦值为______.
答案
设AB=1,作AO⊥BC于点O,连DO,以点O为原点,OD,OC,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向,建立坐标系,
得下列坐标:
O(0,0,0),D(


3
2
,0,0),B(0,
1
2
,0),C(0,
3
2
,0),
A(0,0,


3
2



AB
=(0,
1
2
,-


3
2
),


AD
=(


3
2
,0,-


3
2
)


AC
=(0,
3
2
,-


3
2
)

设平面ADC的法向量为


n
=(x,y,z)
,则







3
x
2
-


3
2
z=0
3
2
y-


3
2
z=0

∴可取


n
=(


3
,1,


3
)

∴AB与平面ADC所成角的正弦值为|cos<


n


AB
>|=|


n


AB
|


n
||


AB
|
|=|
1
2
-
3
2


7
|=


7
7

故答案为:


7
7
举一反三
如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,
(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)求cos∠COD.
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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.
(Ⅰ)确定点G的位置;
(Ⅱ)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)求证:BE⊥CD;
(3)求BD与平面PDC所成角的正弦值.
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:
(1)C1O面A1B1D1
(2)A1C⊥面AB1D1
(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的正切值.
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如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=


2
,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为______°.
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