解法一:(Ⅰ)以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),=(0,-2,2) 设G(0,2,h),则=(-1,1,h).∵AC1⊥EG,∴•=0. ∴-1×0+1×(-2)+2h=0.∴h=1,即G是AA1的中点. (Ⅱ)设=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则⊥,⊥. 所以平面EFG的一个法向量m=(1,0,1) ∵sinθ===, ∴θ=,即AC1与平面EFG所成角θ为 解法二:(Ⅰ)取AC的中点D,连接DE、DG,则ED∥BC ∵BC⊥AC,∴ED⊥AC. 又CC1⊥平面ABC,而ED⊂平面ABC,∴CC1⊥ED. ∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面A1ACC1. 又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG. 连接A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C∥DG. ∵D是AC的中点,∴G是AA1的中点. (Ⅱ)取CC1的中点M,连接GM、FM,则EF∥GM, ∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM,交FM的延长线于H,∵AC⊥平面BB1C1C, C1H⊂平面BB1C1C,∴AC⊥G1H,又AC∥GM,∴GM⊥C1H.∵GM∩FM=M, ∴C1H⊥平面EFG,设AC1与MG相交于N点,所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ. 因为C1H=,C1N=,∴sinθ==,∴θ=. |