证明:(1)连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O1, 连接AO1,∵ABCD-A1B1C1D是正方体 ∴A1ACC1是平行四边形 ∴A1C1∥AC且A1C1=AC(2分) 又∵O1,O分别是A1C1,AC的中点, ∴O1C1∥AO且O1C1=AO ∴O1C1OA是平行四边形 ∴C1O∥AO1,AO1⊂平面A1B1D1,C1O⊄平面A1B1D1, ∴C1O∥面A1B1D1;
(2)∵CC1⊥平面A1B1C1D1, ∴CC1⊥B1D1, 又∵A1C1⊥B1D1, ∴B1D1⊥平面A1C1C 即B1D1⊥A1C, 同理可证AB1⊥A1C, 又B1D1∩AB1=B1, ∴A1C⊥面AB1D1; (3)直线AC与平面AB1D1所成的角实际上 就是正四面体ACB1D1的一条棱与一个面所成的角, 余弦值为,从而正切值为.(13分) |