如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为______．

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2AA₁，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为______．

答案

以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1

=（-2，0，1），

=（-2，2，0），

且为平面BB₁D₁D的一个法向量．
∴cos＜

BC1

，

＞=

•

．
∴BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

，
故答案为：

．

举一反三

已知四面体ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）求直线CA与平面ABD所成角的大小．

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如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．
（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

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如图，三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．

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如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁A，B₁B的中点．
（1）求直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小；
（2）求直线CM与D₁N所成角的正弦值；
（3）（理科做）求点N到平面D₁MB的距离．

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在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B和平面ABCD所成角是______．

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