如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,(1)证明:平面P

如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,(1)证明:平面P

题型:不详难度:来源:
如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,
(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)求cos∠COD.
答案
(1)证明:设平面PAB与平面PCD的交线为l,则
∵ABCD,AB⊄平面PCD,∴AB平面PCD
∵AB⊂面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l,∴ABl
∵AB在底面上,l在底面外
∴l与底面平行;
(2)设CD的中点为F,连接OF,PF
由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD
∵OP⊥底面,CD⊂底面,∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD⊂平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设,∠OPF=60°
设OP=h,则OF=OPtan∠OPF=


3
h

∵∠OCP=22.5°,∴OC=
OP
tan∠OCP
=
h
tan22.5°

∵tan45°=
2tan22.5°
1-tan222.5°
=1
∴tan22.5°=


2
-1

∴OC=
h


2
-1
=(


2
+1)h

在Rt△OCF中,cos∠COF=
OF
OC
=


3
h
(


2
+1)h
=


6
-


3

∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=17-12


2
举一反三
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.
(Ⅰ)确定点G的位置;
(Ⅱ)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)求证:BE⊥CD;
(3)求BD与平面PDC所成角的正弦值.
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:
(1)C1O面A1B1D1
(2)A1C⊥面AB1D1
(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的正切值.
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如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=


2
,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为______°.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BDD1B1所成的角为(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°
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