从平面α外一点P向平面α引垂线PO与斜线PA、PB,垂足为A、B.(1)若∠APB=60°,PA、PB分别和α成30°、45°角,求cos∠AOB的值;(2)若
题型:不详难度:来源:
从平面α外一点P向平面α引垂线PO与斜线PA、PB,垂足为A、B. (1)若∠APB=60°,PA、PB分别和α成30°、45°角,求cos∠AOB的值; (2)若PA、PB和平面α所成角的差为45°,且AO=2,BO=12,求PO的长; (3)若PA:PB=2:3,PA、PB与α所成的角之比依次为2:1,求PB与α所成角的正弦值. |
答案
(1)设PO=x,则有PA=2x,OA=x,OB=x,PB=x 在△PAB中,AB2=(6-2)x2 在△OAB中,cos∠AOB==; (2)由题意,设∠PBO=α,则∠PAO=45°+α ∴PO=2tan(α+45°)=12tanα, ∴tanα=或tanα= ∴P0=6或4; (3)设PA=2a,PB=3a,∠PBO=β,则∠PAO=2β ∴2asin2β=3asinβ ∴cosβ= ∴sinβ= |
举一反三
平面α的斜线l与平面α所成的角是45°,则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中,最大的角是( ) |
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,则EF与面A1C1CA所成的角是:______. |
一条直线与平面a成60°角,则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是______. |
在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB与C1D1的中点. (1)求证:四边形A1ECF是菱形; (2)求证:EF⊥平面A1B1C; (3)求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值. |
若平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,且AB=48,CD=25,又CD在平面β内的射影长为7,则AB和平面β所成角的度数是______. |
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